Uma prova com apenas três questões foi aplicada para 210 candidatos. Após a correção...

Gabarito: b)

Vamos analisar os dados fornecidos para determinar quantos candidatos erraram todas as questões.

Temos 210 candidatos no total.

- 90 acertaram a 1ª questão.
- 110 acertaram a 2ª questão.
- 47 acertaram a 3ª questão.
- 18 acertaram apenas a 3ª questão.
- 29 acertaram apenas a 2ª questão.
- 15 acertaram as três questões.
- Todos que acertaram a 3ª e a 1ª questão também acertaram a 2ª questão.

Primeiro, vamos definir os conjuntos:
A = candidatos que acertaram a 1ª questão
B = candidatos que acertaram a 2ª questão
C = candidatos que acertaram a 3ª questão

Sabemos que:
|A| = 90
|B| = 110
|C| = 47

Sabemos que 15 acertaram as três questões, ou seja, |A ∩ B ∩ C| = 15.

Também, 18 acertaram apenas a 3ª questão, ou seja, |C| - (interseções com A e/ou B) = 18.

Além disso, todos que acertaram a 3ª e a 1ª questão também acertaram a 2ª, ou seja, não existe candidato que tenha acertado 1ª e 3ª sem acertar a 2ª. Portanto, |A ∩ C| = |A ∩ B ∩ C| = 15.

Vamos calcular os candidatos que acertaram apenas a 3ª questão: 18 (dado).

Os que acertaram 3ª e 2ª, mas não 1ª, são:
|B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C| = ?

Sabemos que |C| = 47 = (apenas C) + (A ∩ B ∩ C) + (B ∩ C sem A)

Logo:
47 = 18 + 15 + (B ∩ C sem A)
(B ∩ C sem A) = 47 - 18 - 15 = 14

Agora, os que acertaram apenas a 2ª questão são 29 (dado).

Os que acertaram 2ª e 1ª, mas não 3ª, são:
|A ∩ B| - |A ∩ B ∩ C| = ?

Sabemos que |B| = 110 = (apenas B) + (A ∩ B ∩ C) + (B ∩ C sem A) + (A ∩ B sem C)

Logo:
110 = 29 + 15 + 14 + (A ∩ B sem C)
(A ∩ B sem C) = 110 - 29 - 15 - 14 = 52

Os que acertaram apenas a 1ª questão são:
|A| = 90 = (apenas A) + (A ∩ B ∩ C) + (A ∩ B sem C) + (A ∩ C sem B)
Sabemos que (A ∩ C sem B) = 0 (pois quem acertou 1ª e 3ª acertou também a 2ª).

Logo:
90 = (apenas A) + 15 + 52 + 0
(apenas A) = 90 - 15 - 52 = 23

Agora somamos todos os que acertaram pelo menos uma questão:
(apenas A) + (apenas B) + (apenas C) + (A ∩ B sem C) + (B ∩ C sem A) + (A ∩ B ∩ C) =
23 + 29 + 18 + 52 + 14 + 15 = 151

Portanto, os que erraram todas as questões são:
210 - 151 = 59

Checagem dupla confirma o resultado.

Assim, a resposta correta é a letra b).