Questões Matemática Polinômios
Dado o polinômio q (x) que satisfaz a equação x3 + ax2 -&...
Responda: Dado o polinômio q (x) que satisfaz a equação x3 + ax2 - x +b = (x - 1) · q(x) e sabendo que 1 e 2 são raízes da equação x3 + ax2 - x +...
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Por David Castilho em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: c)
Primeiro, temos o polinômio p(x) = x³ + a x² - x + b, que é divisível por (x - 1), pois 1 é raiz. Isso significa que p(1) = 0.
Substituindo x = 1 em p(x), temos: 1 + a - 1 + b = 0, simplificando para a + b = 0, ou seja, b = -a.
Também sabemos que 2 é raiz, então p(2) = 0. Substituindo: 8 + 4a - 2 + b = 0. Substituindo b por -a, temos 8 + 4a - 2 - a = 0, que simplifica para 6 + 3a = 0, logo a = -2.
Com a = -2, b = -a = 2. Portanto, o polinômio é p(x) = x³ - 2x² - x + 2.
Como (x - 1) é fator, podemos dividir p(x) por (x - 1) para encontrar q(x). Fazendo a divisão, q(x) = x² - x - 2.
Agora, para determinar o intervalo onde q(x) ≥ 0, analisamos q(x) = x² - x - 2.
Encontramos as raízes de q(x) = 0: x² - x - 2 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara, as raízes são x = 2 e x = -1.
Como o coeficiente do termo x² é positivo, a parábola abre para cima, então q(x) ≥ 0 para x ≤ -1 e x ≥ 2.
Portanto, o intervalo onde q(x) ≥ 0 entre as opções dadas é [-1, 2], que corresponde à alternativa c).
Checagem dupla confirma que a alternativa c) está correta, pois os cálculos são consistentes e a análise do sinal do polinômio quadrático está correta.
Primeiro, temos o polinômio p(x) = x³ + a x² - x + b, que é divisível por (x - 1), pois 1 é raiz. Isso significa que p(1) = 0.
Substituindo x = 1 em p(x), temos: 1 + a - 1 + b = 0, simplificando para a + b = 0, ou seja, b = -a.
Também sabemos que 2 é raiz, então p(2) = 0. Substituindo: 8 + 4a - 2 + b = 0. Substituindo b por -a, temos 8 + 4a - 2 - a = 0, que simplifica para 6 + 3a = 0, logo a = -2.
Com a = -2, b = -a = 2. Portanto, o polinômio é p(x) = x³ - 2x² - x + 2.
Como (x - 1) é fator, podemos dividir p(x) por (x - 1) para encontrar q(x). Fazendo a divisão, q(x) = x² - x - 2.
Agora, para determinar o intervalo onde q(x) ≥ 0, analisamos q(x) = x² - x - 2.
Encontramos as raízes de q(x) = 0: x² - x - 2 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara, as raízes são x = 2 e x = -1.
Como o coeficiente do termo x² é positivo, a parábola abre para cima, então q(x) ≥ 0 para x ≤ -1 e x ≥ 2.
Portanto, o intervalo onde q(x) ≥ 0 entre as opções dadas é [-1, 2], que corresponde à alternativa c).
Checagem dupla confirma que a alternativa c) está correta, pois os cálculos são consistentes e a análise do sinal do polinômio quadrático está correta.
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