David Castilho
31/12/1969 • 21:00
Gabarito: d)
Temos que h(x) = (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1).
Sabemos que h(x) = x^2 - 2x + 1. Portanto, f(x + 1) = x^2 - 2x + 1.
Substituindo t = x + 1, temos x = t - 1. Assim, f(t) = (t - 1)^2 - 2(t - 1) + 1.
Expandindo: (t - 1)^2 = t^2 - 2t + 1, então f(t) = t^2 - 2t + 1 - 2t + 2 + 1 = t^2 - 4t + 4.
Portanto, f(t) = t^2 - 4t + 4.
Como f é uma função quadrática, suas raízes são as soluções da equação t^2 - 4t + 4 = 0.
Essa equação pode ser fatorada como (t - 2)^2 = 0, logo a única raiz é t = 2, com multiplicidade 2.
A soma das raízes, considerando a multiplicidade, é 2 + 2 = 4.
Assim, a soma das raízes de f é 4, que corresponde à alternativa d).
Checagem dupla:
Outra forma é usar a fórmula da soma das raízes para uma função quadrática ax^2 + bx + c = 0, que é -b/a.
Aqui, f(t) = t^2 - 4t + 4, então a = 1, b = -4, c = 4.
Soma das raízes = -(-4)/1 = 4, confirmando o resultado anterior.
Temos que h(x) = (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1).
Sabemos que h(x) = x^2 - 2x + 1. Portanto, f(x + 1) = x^2 - 2x + 1.
Substituindo t = x + 1, temos x = t - 1. Assim, f(t) = (t - 1)^2 - 2(t - 1) + 1.
Expandindo: (t - 1)^2 = t^2 - 2t + 1, então f(t) = t^2 - 2t + 1 - 2t + 2 + 1 = t^2 - 4t + 4.
Portanto, f(t) = t^2 - 4t + 4.
Como f é uma função quadrática, suas raízes são as soluções da equação t^2 - 4t + 4 = 0.
Essa equação pode ser fatorada como (t - 2)^2 = 0, logo a única raiz é t = 2, com multiplicidade 2.
A soma das raízes, considerando a multiplicidade, é 2 + 2 = 4.
Assim, a soma das raízes de f é 4, que corresponde à alternativa d).
Checagem dupla:
Outra forma é usar a fórmula da soma das raízes para uma função quadrática ax^2 + bx + c = 0, que é -b/a.
Aqui, f(t) = t^2 - 4t + 4, então a = 1, b = -4, c = 4.
Soma das raízes = -(-4)/1 = 4, confirmando o resultado anterior.