Letícia Cunha
31/12/1969 • 21:00
Gabarito: b) Errado.
Vamos analisar o problema passo a passo. Temos 21 pessoas na fila, incluindo Samuel e Elisa.
A condição é que Samuel tenha exatamente 9 pessoas atrás dele. Isso significa que Samuel está na posição 12 da fila, pois 21 - 12 = 9 pessoas atrás.
Além disso, Elisa deve estar sempre à frente de Samuel, ou seja, em uma posição de 1 a 11.
Agora, fixando Samuel na posição 12, temos 20 pessoas restantes para organizar nas outras posições.
Elisa deve estar em uma das 11 primeiras posições (1 a 11). Então, escolhemos uma posição para Elisa entre essas 11.
Depois, organizamos as outras 19 pessoas nas posições restantes (20 posições menos as duas já ocupadas por Samuel e Elisa), ou seja, 19 pessoas em 19 posições, o que dá 19! maneiras.
Portanto, o total de maneiras é 11 (posições possíveis para Elisa) multiplicado por 19! (organização das outras pessoas).
Logo, o número total de maneiras é 11 x 19!, que é exatamente o que a questão afirma.
No entanto, a questão diz que a quantidade é igual a 19! x 11, o que é matematicamente correto, pois a multiplicação é comutativa.
Então, por que o gabarito é errado?
Vamos fazer uma segunda checagem.
Outra forma de pensar: Fixamos Samuel na posição 12 (para que 9 pessoas fiquem atrás dele). Elisa deve estar em uma posição anterior a 12 (1 a 11). Escolhemos a posição de Elisa (11 opções).
Depois, organizamos as outras 19 pessoas nas 19 posições restantes.
Portanto, o total é 11 x 19!.
A questão afirma que o total é 19! x 11, que é o mesmo valor.
Então, a afirmação está correta, mas o gabarito oficial é b) Errado.
Possível motivo: a questão pode estar considerando que Samuel e Elisa são indistinguíveis ou que a ordem de Samuel não está fixada, ou que a posição de Samuel não é necessariamente a 12.
Se não fixarmos Samuel na posição 12, precisamos contar as posições possíveis para Samuel que tenham 9 pessoas atrás dele, ou seja, posição 12.
Então, Samuel está fixo na posição 12.
Portanto, a afirmação está correta, e o gabarito oficial parece estar incorreto.
Conclusão: A resposta correta é a) Certo, pois o cálculo está correto.
Como o gabarito oficial é b), e a resposta mais comentada também é b), provavelmente há um erro no enunciado ou na interpretação.
Por isso, a resposta correta, conforme análise matemática, é a), mas o gabarito oficial indica b).
Vamos analisar o problema passo a passo. Temos 21 pessoas na fila, incluindo Samuel e Elisa.
A condição é que Samuel tenha exatamente 9 pessoas atrás dele. Isso significa que Samuel está na posição 12 da fila, pois 21 - 12 = 9 pessoas atrás.
Além disso, Elisa deve estar sempre à frente de Samuel, ou seja, em uma posição de 1 a 11.
Agora, fixando Samuel na posição 12, temos 20 pessoas restantes para organizar nas outras posições.
Elisa deve estar em uma das 11 primeiras posições (1 a 11). Então, escolhemos uma posição para Elisa entre essas 11.
Depois, organizamos as outras 19 pessoas nas posições restantes (20 posições menos as duas já ocupadas por Samuel e Elisa), ou seja, 19 pessoas em 19 posições, o que dá 19! maneiras.
Portanto, o total de maneiras é 11 (posições possíveis para Elisa) multiplicado por 19! (organização das outras pessoas).
Logo, o número total de maneiras é 11 x 19!, que é exatamente o que a questão afirma.
No entanto, a questão diz que a quantidade é igual a 19! x 11, o que é matematicamente correto, pois a multiplicação é comutativa.
Então, por que o gabarito é errado?
Vamos fazer uma segunda checagem.
Outra forma de pensar: Fixamos Samuel na posição 12 (para que 9 pessoas fiquem atrás dele). Elisa deve estar em uma posição anterior a 12 (1 a 11). Escolhemos a posição de Elisa (11 opções).
Depois, organizamos as outras 19 pessoas nas 19 posições restantes.
Portanto, o total é 11 x 19!.
A questão afirma que o total é 19! x 11, que é o mesmo valor.
Então, a afirmação está correta, mas o gabarito oficial é b) Errado.
Possível motivo: a questão pode estar considerando que Samuel e Elisa são indistinguíveis ou que a ordem de Samuel não está fixada, ou que a posição de Samuel não é necessariamente a 12.
Se não fixarmos Samuel na posição 12, precisamos contar as posições possíveis para Samuel que tenham 9 pessoas atrás dele, ou seja, posição 12.
Então, Samuel está fixo na posição 12.
Portanto, a afirmação está correta, e o gabarito oficial parece estar incorreto.
Conclusão: A resposta correta é a) Certo, pois o cálculo está correto.
Como o gabarito oficial é b), e a resposta mais comentada também é b), provavelmente há um erro no enunciado ou na interpretação.
Por isso, a resposta correta, conforme análise matemática, é a), mas o gabarito oficial indica b).