Em um triângulo retângulo, o perímetro é de 48cm e um dos catetos mede 12c...

Para resolver essa questão, vamos usar algumas propriedades dos triângulos retângulos e algumas fórmulas.

Primeiro, vamos nomear os elementos do triângulo:
- \( a \) e \( b \) são os catetos, sendo \( a = 12 \) cm.
- \( c \) é a hipotenusa.
- O perímetro é \( a + b + c = 48 \) cm.

Vamos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa \( c \):
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\[ 12^2 + b^2 = c^2 \]
\[ 144 + b^2 = c^2 \]

Agora, substituímos \( c \) na equação do perímetro:
\[ 12 + b + c = 48 \]
\[ b + c = 36 \]

Substituindo \( c \) da equação \( c^2 = 144 + b^2 \) na equação do perímetro:
\[ b + \sqrt{144 + b^2} = 36 \]
\[ \sqrt{144 + b^2} = 36 - b \]
\[ 144 + b^2 = (36 - b)^2 \]
\[ 144 + b^2 = 1296 - 72b + b^2 \]
\[ 144 = 1296 - 72b \]
\[ 72b = 1296 - 144 \]
\[ 72b = 1152 \]
\[ b = 16 \text{ cm} \]

Agora, sabemos que \( b = 16 \) cm e \( a = 12 \) cm. Usando o Teorema de Pitágoras novamente para encontrar \( c \):
\[ c^2 = 144 + 256 \]
\[ c^2 = 400 \]
\[ c = 20 \text{ cm} \]

A altura relativa à hipotenusa \( h \) em um triângulo retângulo pode ser encontrada pela fórmula:
\[ h = \frac{ab}{c} \]
\[ h = \frac{12 \times 16}{20} \]
\[ h = \frac{192}{20} \]
\[ h = 9,6 \text{ cm} \]

Portanto, a altura relativa à hipotenusa é 9,6 cm.

Gabarito: a) 9,6 cm

Vamos fazer uma checagem rápida:
- \( a = 12 \) cm, \( b = 16 \) cm, \( c = 20 \) cm.
- Perímetro: \( 12 + 16 + 20 = 48 \) cm, confirma.
- Altura: \( h = \frac{12 \times 16}{20} = 9,6 \) cm, confirma.

Tudo confere, então a resposta está correta.