Uma grande empresa multinacional oferece a seus funcionários cursos de português, in...

Vamos analisar o problema com calma, usando um diagrama de Venn para três conjuntos: Português (P), Inglês (I) e Italiano (T).

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### Dados fornecidos:

- 20 funcionários cursam italiano e inglês (T ∩ I = 20)
- 60 funcionários cursam português (|P| = 60)
- 65 funcionários cursam inglês (|I| = 65)
- 21 funcionários não cursam nem português nem italiano (ou seja, fora de P e T)
- O número de funcionários que cursam só português é igual ao número que cursam só italiano (|P só| = |T só|)
- 17 funcionários cursam português e italiano (P ∩ T = 17)
- 45 funcionários cursam português e inglês (P ∩ I = 45)
- 30, entre os 45 que cursam português e inglês, não cursam italiano (ou seja, 30 cursam P e I, mas não T)

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### Objetivo:

Calcular a diferença entre o total de funcionários da empresa e o total de funcionários que não estão matriculados em qualquer um dos cursos.

Ou seja:

\[
\text{Total} - \text{Número que não cursam nenhum curso} = ?
\]

Sabemos que 21 funcionários não cursam nem português nem italiano, mas não sabemos ainda quantos não cursam nenhum curso (nem P, nem I, nem T). Precisamos descobrir isso.

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### Passo 1: Definir variáveis para as regiões do diagrama de Venn

Vamos definir as regiões do diagrama de Venn para os três conjuntos P, I e T:

- \(a =\) só P
- \(b =\) só I
- \(c =\) só T
- \(d =\) P ∩ I, mas não T
- \(e =\) P ∩ T, mas não I
- \(f =\) I ∩ T, mas não P
- \(g =\) P ∩ I ∩ T
- \(h =\) fora de P, I e T (não cursam nenhum curso)

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### Passo 2: Usar as informações para montar equações

1. \(T \cap I = 20\)

Isso é \(f + g = 20\).

2. \(P = 60\)

\[
a + d + e + g = 60
\]

3. \(I = 65\)

\[
b + d + f + g = 65
\]

4. 21 funcionários não cursam nem português nem italiano.

Ou seja, fora de P e T, que são:

- só I: \(b\)
- fora de todos: \(h\)

Então:

\[
b + h = 21
\]

5. \(a = c\) (só português = só italiano)

6. \(P \cap T = 17\)

\[
e + g = 17
\]

7. \(P \cap I = 45\)

\[
d + g = 45
\]

8. 30, entre os 45 que cursam P e I, não cursam italiano.

Ou seja, \(d = 30\) (pois \(d\) é P ∩ I sem T).

Logo:

\[
d = 30
\]

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### Passo 3: Resolver as equações

- De (7) e (8):

\[
d + g = 45 \implies 30 + g = 45 \implies g = 15
\]

- De (6):

\[
e + g = 17 \implies e + 15 = 17 \implies e = 2
\]

- De (1):

\[
f + g = 20 \implies f + 15 = 20 \implies f = 5
\]

- De (2):

\[
a + d + e + g = 60 \implies a + 30 + 2 + 15 = 60 \implies a + 47 = 60 \implies a = 13
\]

- De (5):

\[
a = c \implies c = 13
\]

- De (3):

\[
b + d + f + g = 65 \implies b + 30 + 5 + 15 = 65 \implies b + 50 = 65 \implies b = 15
\]

- De (4):

\[
b + h = 21 \implies 15 + h = 21 \implies h = 6
\]

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### Passo 4: Calcular o total de funcionários

O total é a soma de todas as regiões:

\[
a + b + c + d + e + f + g + h = ?
\]

Substituindo:

\[
13 + 15 + 13 + 30 + 2 + 5 + 15 + 6 = ?
\]

Calculando:

\[
13 + 15 = 28 \\
28 + 13 = 41 \\
41 + 30 = 71 \\
71 + 2 = 73 \\
73 + 5 = 78 \\
78 + 15 = 93 \\
93 + 6 = 99
\]

Total de funcionários = 99.

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### Passo 5: Calcular a diferença pedida

A diferença entre o total de funcionários e os que não cursam nenhum curso (h) é:

\[
99 - 6 = 93
\]

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### Resposta final:

Gabarito: a) 93

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Se quiser, posso ajudar a montar o diagrama de Venn para visualizar melhor! Quer?