Juntam-se 64 cubos de madeira idênticos, de aresta 1 cm, formando um cubo maior, de ...

Gabarito: a)

Temos um cubo maior formado por 64 cubos menores, cada um com aresta 1 cm, formando um cubo maior de aresta 4 cm (pois 4x4x4 = 64).

Cada uma das seis faces do cubo maior é pintada. Isso significa que todos os cubos que estão na superfície do cubo maior terão pelo menos uma face pintada.

Para encontrar quantos cubos não têm nenhuma face pintada, devemos considerar os cubos internos, ou seja, aqueles que não estão na superfície.

O cubo maior tem 4 cubos por aresta. A camada interna, que não é pintada, é formada pelos cubos que não estão nas faces externas. Assim, a camada interna tem (4-2) = 2 cubos por aresta, pois retiramos uma camada de cubos pintados de cada lado.

Logo, o número de cubos internos é 2x2x2 = 8 cubos, que não têm nenhuma face pintada.

Portanto, existem 64 - 8 = 56 cubos que têm pelo menos uma face pintada.

A questão pede o menor valor de n para garantir que, ao escolher n cubos, pelo menos um deles não tenha nenhuma face pintada.

Se escolhermos 56 cubos, é possível que todos sejam os que têm face pintada (pois há exatamente 56 cubos pintados).

Mas se escolhermos 57 cubos, obrigatoriamente teremos que incluir pelo menos um dos 8 cubos internos, que não têm face pintada.

Assim, o menor valor de n para garantir que pelo menos um cubo escolhido não tenha face pintada é 57.

Checagem dupla:
- Total de cubos: 64
- Cubos pintados (superfície): 64 - 8 = 56
- Para garantir um cubo sem pintura, precisamos escolher mais que 56 cubos, ou seja, 57.

Portanto, a resposta correta é a alternativa a).