(PUC-RJ) A equação x4 – 2b2 x2 + 1 = 0

Gabarito: a)
A equação dada é x^4 - 2b^2 x^2 + 1 = 0. Podemos resolver essa equação por substituição, considerando u = x^2. Assim, a equação se transforma em u^2 - 2b^2 u + 1 = 0, que é uma equação quadrática em u.

Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática, temos u = [2b^2 ± sqrt((2b^2)^2 - 4)] / 2. Simplificando, obtemos u = b^2 ± sqrt(b^4 - 1).

Para que u (que é igual a x^2) seja não-negativo, o termo dentro da raiz quadrada, b^4 - 1, deve ser maior ou igual a zero. Isso ocorre quando b^4 ≥ 1, ou seja, |b| ≥ 1. Portanto, se –1 < b < 1, então b^4 - 1 < 0, o que torna o termo dentro da raiz quadrada negativo, e assim u seria negativo, o que é impossível pois u = x^2 e x^2 não pode ser negativo.

Portanto, se –1 < b < 1, a equação não tem soluções reais, pois não existem valores de u que satisfaçam a equação quadrática transformada.