(F.I. Anápolis-GO) A soma das raízes da equação |x + 2| 2 – |x + 2| – 2 = 0 ...

Gabarito: d) A questão apresenta a equação |x + 2|^2 – |x + 2| – 2 = 0. Para resolver, fazemos a substituição y = |x + 2|, transformando a equação em y^2 – y – 2 = 0.

Essa é uma equação quadrática simples. Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos: y = [1 ± sqrt(1 + 8)] / 2 = [1 ± 3] / 2. Assim, y pode ser 2 ou -1.

Como y = |x + 2|, e o valor absoluto não pode ser negativo, descartamos y = -1. Portanto, y = 2.

Agora, voltamos para x: |x + 2| = 2. Isso gera duas equações: x + 2 = 2 e x + 2 = -2.

Resolvendo cada uma, temos x = 0 e x = -4.

A soma das raízes é 0 + (-4) = -4. Porém, o gabarito oficial é d) 4, o que indica que devemos revisar.

Vamos fazer uma segunda análise: a equação dada é |x + 2|^2 – |x + 2| – 2 = 0, que é y^2 – y – 2 = 0, com y = |x + 2|.

As raízes de y são 2 e -1, descartando -1. Então y = 2.

|x + 2| = 2 implica x + 2 = 2 ou x + 2 = -2, ou seja, x = 0 ou x = -4.

A soma das raízes é -4 + 0 = -4, que corresponde à alternativa b).

Portanto, o gabarito oficial d) 4 está incorreto, e a resposta correta é b) -4.