Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de ocorrerem dois sucessos ...

Gabarito: d)

Vamos analisar o problema passo a passo. Trata-se de um experimento binomial com n = 3 provas, ou seja, três tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p e probabilidade de fracasso q = 1 - p.

A probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n provas é dada pela fórmula binomial: P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k), onde C(n, k) é o coeficiente binomial.

No problema, temos que a probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos. Ou seja:
P(X=2) = 12 * P(X=3)

Calculando cada uma:
P(X=2) = C(3, 2) * p^2 * q = 3 * p^2 * q
P(X=3) = C(3, 3) * p^3 * q^0 = 1 * p^3

Substituindo na equação:
3 * p^2 * q = 12 * p^3

Dividindo ambos os lados por p^2 (p > 0):
3 * q = 12 * p

Lembrando que q = 1 - p, temos:
3 * (1 - p) = 12 * p
3 - 3p = 12p
3 = 15p
p = 3 / 15 = 0,2 (20%)

Logo, q = 1 - 0,2 = 0,8 (80%)

Portanto, as probabilidades de sucesso e fracasso são 20% e 80%, respectivamente.

Checagem dupla:
Se p = 0,2 e q = 0,8, então:
P(X=2) = 3 * (0,2)^2 * 0,8 = 3 * 0,04 * 0,8 = 0,096
P(X=3) = (0,2)^3 = 0,008
A razão P(X=2)/P(X=3) = 0,096 / 0,008 = 12, que confirma a condição do problema.

Assim, a alternativa correta é a letra d).