Questões Matemática Análise combinatória ou princípio da contagem
Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no tea...
Responda: Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lu...
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Por Ingrid Nunes em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: c)
Vamos analisar a questão em duas partes, conforme solicitado.
a) Homens e mulheres sentados em lugares alternados:
Temos 4 homens e 4 mulheres para 8 lugares contíguos. Para que homens e mulheres se sentem alternadamente, as posições podem ser: homem, mulher, homem, mulher, ... ou mulher, homem, mulher, homem, ...
Primeiro, escolhemos qual gênero começa na primeira cadeira: 2 opções (homem ou mulher).
Depois, permutamos os 4 homens nas 4 posições reservadas a eles: 4! = 24 maneiras.
Também permutamos as 4 mulheres nas 4 posições reservadas a elas: 4! = 24 maneiras.
Logo, o total de arranjos é 2 x 24 x 24 = 2 x 576 = 1152.
b) Todos os homens sentados juntos e todas as mulheres sentadas juntas:
Aqui, os 4 homens formam um bloco e as 4 mulheres formam outro bloco. Esses dois blocos podem se organizar na fila de 2 maneiras: homens primeiro e depois mulheres, ou mulheres primeiro e depois homens.
Dentro do bloco dos homens, eles podem se permutar de 4! = 24 maneiras.
Dentro do bloco das mulheres, também 4! = 24 maneiras.
Assim, o total é 2 x 24 x 24 = 1152.
Portanto, as respostas são 1152 para ambos os casos.
Checagem dupla:
Revisando os cálculos, confirmamos que para a parte a) a alternância gera 2 possibilidades para o padrão e 4! para cada gênero, totalizando 1152.
Para a parte b), os blocos podem se inverter (2 maneiras) e cada bloco permutado internamente (4! para cada), também totalizando 1152.
Assim, o gabarito correto é a alternativa c).
Vamos analisar a questão em duas partes, conforme solicitado.
a) Homens e mulheres sentados em lugares alternados:
Temos 4 homens e 4 mulheres para 8 lugares contíguos. Para que homens e mulheres se sentem alternadamente, as posições podem ser: homem, mulher, homem, mulher, ... ou mulher, homem, mulher, homem, ...
Primeiro, escolhemos qual gênero começa na primeira cadeira: 2 opções (homem ou mulher).
Depois, permutamos os 4 homens nas 4 posições reservadas a eles: 4! = 24 maneiras.
Também permutamos as 4 mulheres nas 4 posições reservadas a elas: 4! = 24 maneiras.
Logo, o total de arranjos é 2 x 24 x 24 = 2 x 576 = 1152.
b) Todos os homens sentados juntos e todas as mulheres sentadas juntas:
Aqui, os 4 homens formam um bloco e as 4 mulheres formam outro bloco. Esses dois blocos podem se organizar na fila de 2 maneiras: homens primeiro e depois mulheres, ou mulheres primeiro e depois homens.
Dentro do bloco dos homens, eles podem se permutar de 4! = 24 maneiras.
Dentro do bloco das mulheres, também 4! = 24 maneiras.
Assim, o total é 2 x 24 x 24 = 1152.
Portanto, as respostas são 1152 para ambos os casos.
Checagem dupla:
Revisando os cálculos, confirmamos que para a parte a) a alternância gera 2 possibilidades para o padrão e 4! para cada gênero, totalizando 1152.
Para a parte b), os blocos podem se inverter (2 maneiras) e cada bloco permutado internamente (4! para cada), também totalizando 1152.
Assim, o gabarito correto é a alternativa c).
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